Question

14．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：
如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么稱點Q為點P的“關聯點”．
例如：點（5，6）的“關聯點”為點（5，6），點（-5，6）的“關聯點”
為點（-5，-6）．
（1）①點（2，1）的“關聯點”為（2，1）；②如果點A（3，-1），B（-1，3）的“關聯點”中有一個在函數$y=\frac{3}{x}$的圖象上，那么這個點是B（填“點A”或“點B”）．
（2）①如果點M^*（-1，-2）是一次函數y=x+3圖象上點M的“關聯點”，
那么點M的坐標為（-1，2）；②如果點N^*（m+1，2）是一次函數y=x+3圖象上點N的“關聯點”，求點N的坐標．
（3）如果點P在函數y=-x²+4（-2＜x≤a）的圖象上，其“關聯點”Q的縱坐標
y′的取值范圍是-4＜y′≤4，那么實數a的取值范圍是-2＜a＜2．

Answer 1

分析 （1）根據在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么稱點Q為點P的“關聯點”，可得答案；
（2）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么稱點Q為點P的“關聯點”，可得答案；
（3）根據在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么稱點Q為點P的“關聯點”，可得P點自變量的取值范圍，可得答案．

解答 解：（1）①點（2，1）的“關聯點”為（2，1）；
②如果點A（3，-1）的關聯點為（3，-1）；
B（-1，3）的“關聯點”為（-1，-3），
一個在函數$y=\frac{3}{x}$的圖象上，那么這個點是 B；
故答案為：（2，1），B；
（2）①如果點M^*（-1，-2）是一次函數y=x+3圖象上點M的“關聯點”是（-1，2），
那么點M的坐標為（-1，2）；
②如果點N^*（m+1，2）是一次函數y=x+3圖象上，
點N^*（-1，2）的“關聯點”（-1，-2），
點N的坐標是（-1，-2），
故答案為：（-1，2），（-1，-2）；
（3）如果點P在函數y=-x²+4（-2＜x≤a）的圖象上，
當-2＜x≤0時，0＜y≤4，即-2＜a≤0；
當x＞0時，y=y′，即-4＜y≤4，
-x²+4＞-4，解得x＜2$\sqrt{2}$，
即0＜x＜2$\sqrt{2}$，
綜上所述：-2＜x＜2$\sqrt{2}$，
-2＜a＜2$\sqrt{2}$．
“關聯點”Q的縱坐標y′的取值范圍是-4＜y′≤4，那么實數a的取值范圍是-2＜a＜2$\sqrt{2}$，
故答案為：-2＜a＜2．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用關聯點的定義是解題關鍵，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么稱點Q為點P的“關聯點”．