Question

9．如圖，兩個大小不同的等腰直角△ABD與等腰直角△ACE，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．連結DC、BE交于F點．

（1）求證：△ACD≌△AEB；
（2）將圖1中的△ACE繞點A逆時針旋轉α角度（0＜α＜90°），DC與BE相交于點F．
①在旋轉過程中，直線DC、BE是否互相垂直，請說明理由；
②連結AF，在旋轉的過程中，∠DFA的角度是否會變化，若會變化請說明理由；不會變化請求出相應的角度．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）解①如圖，根據全等三角形的性質得到∠ACD=∠AEB，由于∠AEB+∠FEC+∠ACE=90°，于是得到∠ACD+∠FEC+∠ACE=90°，求得∠EFC=90°，即可得到結論；②作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，根據全等三角形的性質得到S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，于是得到$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，推出AM=AN，得到FA是∠DFE的平分線，即可得到結論．

解答 （1）證明：在△ACD與△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠CAE=90°}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB；

（2）解：①如圖，DC⊥BE，
理由：∵△ACD≌△AEB，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB+∠FEC+∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠FEC+∠ACE=90°，
∴∠EFC=90°，
∴DC⊥BE；
②作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△BAE，
∴S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，
∴AM=AN，
∴FA是∠DFE的平分線，
即∠DFA=∠EFA=$\frac{1}{2}∠$DFE=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．