Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是BC邊上的一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點E，且tan∠α= ，有以下的結論：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE為直角三角形時，BD為8或 ；④0＜BE≤5，其中正確的結論是（填入正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADC=180°﹣α﹣∠BDE，
∵∠BED=180°﹣α﹣∠BDE，
∴∠BED=∠ADC
∴△DBE∽△ACD，故①正確；
②∵∠B=∠C，
∴∠C=∠ADE，
不能得到△ADE∽△ACD；
故②錯誤，
③當∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα= ，AB=10，
BD=8．
當∠BDE=90°時，易△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=α且cosα= ．AB=10，
∴cosC= = ，
∴CD= ，
∴BD=BC﹣CD= ；
故③正確．
④過A作AG⊥BC于G，∵cosα= ，
∴BG=8，
∴BC=16，易證得△BDE∽△CAD，
設BD=y，BE=x，
∴ = ，
∴ = ，
整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，
即（y﹣8）2=64﹣10x，
∴0＜x≤6.4．
故④錯誤．
所以答案是：①③．

【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．