Question

【題目】如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止．
（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當PM過點A時，PN也恰巧過點D，此時，△ABP△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中， 的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）～
（2）解：在旋轉(zhuǎn)過程中， 的值為定值．

證明：如圖③所示，過點F作FG⊥BC于G，則∠B=∠FGP，

∵∠MPN=90°，∠B=90°，

∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，

∴∠BEP=∠CPF，

∴△EBP∽△GPF，

∴ = ，

∵矩形ABGF中，F(xiàn)G=AB=2，而PB=1，

∴ = ，

∴ = ，

即 的值為定值 ．

【解析】解：（1）如圖②所示，
∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
所以答案是：∽；
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)，還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．