Question

【題目】如圖，已知一次函數的圖象分別與x軸、y軸交于點A、C，與反比列函數的圖象在第一象限內交于點P，過點P作軸，垂足為B，且的面積為9．

點A的坐標為______，點C的坐標為______，點P的坐標為______；

已知點Q在反比例函數的圖象上，其橫坐標為6，在x軸上確定一點M，使得的周長最小，求出點M的坐標；

設點E是反比例函數在第一象限內圖象上的一動點，且點E在直線PB的右側，過點E作軸，垂足為F，當和相似時，求動點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）當的周長最小時，點M的坐標為；（3）動點E的坐標為或

【解析】

利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，設點P的坐標為，由點P在一次函數的圖象上及的面積為9，可得出關于a，b的二元二次方程，解之取其正值即可得出點P的坐標；

作點Q關于x軸的對稱點，連接與x軸交于點M，連接QM，此時的周長最小，由點P的坐標可得出反比例函數解析式，結合點Q的橫坐標可得出點Q，的坐標，由點P，的坐標，利用待定系數法可求出直線的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點M的坐標；

設點E的坐標為，則點F的坐標為，分∽和∽兩種情況考慮：當∽時，利用相似三角形的性質可得出關于x的方程，解之即可得出點E的坐標；當∽時，利用相似三角形的性質可得出關于x的方程，解之即可得出點E的坐標綜上，此題得解．

解：當時，，

解得：，

點A的坐標為；

當時，，

點C的坐標為；

設點P的坐標為，則，

解得：，舍去，

點P的坐標為．

故答案為：；；．

如圖1，作點Q關于x軸的對稱點，連接與x軸交于點M，連接QM，此時的周長最小．

點在反比例函數圖象上，

，即反比例函數解析式為，

點Q的坐標為，點的坐標為．

設直線的解析式為，

將，代入，得：，

解得：，

直線的解析式為．

當時，，

解得：，

點M的坐標為，

當的周長最小時，點M的坐標為．

設點E的坐標為，則點F的坐標為．

分兩種情況考慮如圖：

當∽時，，即，

解得：，舍去，

點E的坐標為；

當∽時，，即，

解得：，舍去，

點E的坐標為

綜上所述：當和相似時，動點E的坐標為或