Question

考慮方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一個實數b，使得恰有3個不同的實數x滿足①式．
（2）若a≥25，是否存在實數b，使得恰有3個不同的實數x滿足①式？說明你的結論．

Answer 1

（1）把方程變形為（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．當a=24，
得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；
△₁=4（1+

b

）；△₂=4（1-

b

），
要保證恰有3個不同的實數x滿足①式，
則△₁＞0，△₂=0，所以有b=1．

（2）不存在實數b，使得恰有3個不同的實數x滿足①式．理由如下：
由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，則△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），
若a≥25，則有△₂≤0，當△₂＜0時，最多有兩個不同的x滿足①；當△₂=0，有a=25，b=0，則△₁=0，兩個方程都有相同的等根5，所以只有一個x滿足①．