Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線 (b，c為常數)的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0，–1)，C的坐標為(4，3)，直角頂點B在第四象限．
(1)如圖，若該拋物線過A，B兩點，求b，c的值；
(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．
①點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標；
②取BC的中點N，連接NP，BQ．當取最大值時，點Q的坐標為________.

Answer 1

（1）；（2）①（4，﹣1），（﹣2，﹣7）；②.

試題分析：（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求即可求得b，c的值.
（2）①首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續計算的基礎，當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點，即為所求之M點.
②由①可知，PQ=為定值，因此當NP+BQ取最小值時，有最大值．如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，進而求出點Q的坐標.
試題解析：（1）由題意，得點B的坐標為（4，﹣1）．
∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，
∴，解得.
（2）①由（1）得拋物線的函數表達式為：.
∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1.
設平移前拋物線的頂點為P₀，則由（1）可得P₀的坐標為（2，1），且P₀在直線AC上.
∵點P在直線AC上滑動，∴可設P的坐標為（m，m﹣1）.
則平移后拋物線的函數表達式為：.
解方程組：，解得，.
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）.
過點P作PE∥x軸，過點Q作QE∥y軸，則
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ==AP₀.
當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，點M到PQ的距離為（即為PQ的長），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=.
如答圖1，過點B作直線l₁∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點.
∴可設直線l₁的解析式為：y=x+b₁.
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5.∴直線l₁的解析式為：y=x﹣5.
解方程組，得：，.
∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）.

②取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q．
如答圖2，連接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.
∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，則取最大值，
∴點Q的坐標為.