Question

如圖，直線y＝x＋m與拋物線y＝x²－2x＋l交于不同的兩點M、N（點M在點N的左側）．
(1)設拋物線的頂點為B，對稱軸l與直線y＝x＋m的交點為C，連結BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直線MN的解析式；
(2)在(1)條件下，已知點P(t，0)為x軸上的一個動點，
①若△PMN為直角三角形，求點P的坐標．
②若∠MPN>90°，則t的取值范圍是     ．

Answer 1

（1）直線MN的解析式為y=x+1；
（2）①若∠NMP₁=90°，則△MOP₁∽△FOM，P₁的坐標為（，0）；
若∠NMP₂=90°，過N作NH⊥x軸于H，則△NHP₂∽△FOM，P₂的坐標為（，0）；
若∠MP₃N=90°，則△MOP₃∽△FOM，P₃的坐標為（，0）；
②＜t＜．

試題分析：（1）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），過點M、N分別作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足為D、E，根據已知條件可求出m的值，進而得到直線解析式；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），設直線MN的解析式y=x+1與x軸的交點為F，因為直角三角形的斜邊不確定，所以要分三種情況分別討論，求出符合題意的t值，即可求出P的坐標；②由①可知當若∠MPN=90°，P的坐標，進而可求出∠MPN＞90°，則t的取值范圍．
試題解析：（1）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，可得x²﹣5x+2﹣2m=0，
則x₁+x₂=5①，x₁•x₂=2﹣2m②．
過點M、N分別作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足為D、E．
∵S_△MBC=S_△NBC，
∴MD=NE，即2﹣x₁=（x₂﹣2），
∴x₁=﹣x₂+ ③，
③代入①，得x₂=5，x₁=0，
代入②，得m=1，
∴直線MN的解析式為y=x+1；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），設直線MN的解析式y=x+1與x軸的交點為F（﹣2，0）．
若∠NMP₁=90°，則△MOP₁∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P₁的坐標為（，0）；
若∠NMP₂=90°，過N作NH⊥x軸于H，則△NHP₂∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P₂的坐標為（，0）；
若∠MP₃N=90°，則△MOP₃∽△FOM，
∴，
∴2t²﹣10t+7=0，
解得：t=，
∴P₃的坐標為（，0）；
②由①可知P₃的坐標為（，0），
∵∠MPN＞90°，
∴＜t＜．
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