Question

已知拋物線y=ax²-2ax與直線l：y=ax（a＞0）的交點(diǎn)除了原點(diǎn)O外，還相交于另一點(diǎn)A．
（1）分別求出這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)、點(diǎn)A的坐標(biāo)（可用含a的式子表示）；
（2）將拋物線y=ax²-2ax沿著x軸對(duì)折（翻轉(zhuǎn)180°）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，則：①當(dāng)a=1時(shí)，求這個(gè)“新拋物線”的解析式，并判斷這個(gè)“新拋物線”的頂點(diǎn)是否在直線l上；②在①的條件下，“新拋物線”上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a），
由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，3a），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3a）；

（2）存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

，
理由如下：
①∴當(dāng)a=1時(shí)，A坐標(biāo)為（3，3），
∴OA=3

2

，
∴原拋物線為y=x²-2x，
則新拋物線為y=-x²+2x，直線L：x-y=0；
②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（b，-b²+2b），則有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

24

，
即|b²-b|=|（b-

1

2

）²-

1

4

|=

1

4

，
∴（b-

1

2

）²=0或者（b-

1

2

）²=

1

2

，
解得b=

1

2

或b=

1+ 2

2

或b=

1- 2

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

3

4

）或（

1+ 2

2

，

1+2 2

4

）或（

1- 2

2

，

1-2 2

4

）．