Question

已知：拋物線C₁：y=-2x²+bx-6與拋物線C₂關于原點對稱，拋物線C₁與x軸分別交于A（1，0），B（m，0），頂點為M，拋物線C₂與x軸分別交于C，D兩點（點C在點D的左側），頂點為N．
（1）求m的值；
（2）求拋物線C₂的解析式；
（3）若拋物線C₁與拋物線C₂同時以每秒1個單位的速度沿x軸方向分別向左、向右運動，此時記A，B，C，D，M，N在某一時刻的新位置分別為A′，B′，C′，D′，M′，N′，當點A′與點D′重合時運動停止．在運動過程中，四邊形B′M′C′N′能否形成矩形？若能，求出此時運動時間t（秒）的值，若不能，說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線 y=-2x²+bx-6過點 A（1，0）
∴0=-2+b-6，
∴b=8，
∴拋物線 C₁的解析式為 y=-2x²+8x-6=-2（x-2）²+2，
∴M（2，2），
令y=0，則-2x²+8x-6=0，
解這個方程，得 x₁=1，x₂=3，
∴m=3；

（2）由題意，拋物線 過點C（-3，0），D（-1，0），頂點坐標為：N（-2，-2），
故設解析式為：y=a（x+2）²-2，將C（-3，0），帶入得出：a=2，
∴拋物線C₂ 的解析式為：y=2（x+2）²-2=2x²+8x+6；

（3）過點M 作 MH⊥x軸于點H，
若四邊形是矩形B′M′C′N′，則 OB′=OM′，
由題意，設M′（2-t，2）B′（3-t，0），則H （2-t，0），
在Rt△M′OH中，OH²+M′H²=OM′²=OB′²
∴（t-2）²+2²=（t-3）²，
解得t=

1

2

，
∴t=

1

2

秒時，四邊形B′M′C′N′是 矩形．