Question

如圖，拋物線y=-x²+2mx+m+2的圖象與x軸交于A（-1，0），B兩點，在x軸上方且平行于x軸的直線EF與拋物線交于E，F兩點，E在F的左側，過E，F分別作x軸的垂線，垂足是M，N．
（1）求m的值及拋物線的頂點坐標；
（2）設BN=t，矩形EMNF的周長為C，求C與t的函數表達式；
（3）當矩形EMNF的周長為10時，將△ENM沿EN翻折，點M落在坐標平面內的點記為M'，試判斷點M'是否在拋物線上？并說明理由．

Answer 1

（1）由于拋物線過點A（-1，0），
于是將A代入y=-x²+2mx+m+2
得-1-2m+m+2=0，
解得m=1，
函數解析式為y=-x²+2x+3，
解析式可化為y=-（x-1）²+4，頂點縱坐標為（1，4）．

（2）因為函數解析式為y=-x²+2x+3，
所以當y=0時可得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
則AB=3-（-1）=4．
又因為BN=t，M、N關于對稱軸對稱，
所以AM=t．于是MN=4-2t，
N點橫坐標為3-t，代入拋物線得：y_F=-t²+4t．
于是C=2（4-2t）-2（t-2）²+8，
整理得C=-2t²+4t+8；

（3）當-2t²+4t+8=10時，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
FN=-1²+4=3，因為t=1，所以M與O點重合，連接MM'、EN，
且MM'和E相交于K，根據反折變換的性質，MK=M'K．
根據同一個三角形面積相等，2×3=

22+32

•MK
于是MK=

6 13

13

，MM'=

12 13

13

作M'H⊥MN的延長線于H．
設NH=a，HM′=b，
于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，

a2+b2=4 (a+2)2+b2=( 16 13 13 )2

，
解得a=

10

13

，b=

24

13

．
于是MH=2+

10

13

=

36

13

．
M'點坐標為（

36

13

，

24

13

），
代入函數解析式y=-x²+2x+3，y=-x²+2x+3=-（

36

13

）²+2×

36

13

+3=

147

169

≠

24

13

，點M'不在拋物線上．