Question

【題目】問題：在1～n（n ≥2）這n個自然數中，每次取兩個數（不分順序），使得所取兩數之和大于n，共有多少種取法？

探究：不妨設有m種取法，為了探究m與n的關系，我們先從簡單情形入手，再逐次遞進，最后猜想得出結論.

探究一：在1～2這2個自然數中，每次取兩個不同的數（不分順序），使得所取的兩個數之和大于2，有多少種取法？

根據題意，有下列取法：1+2，共1種取法．

所以，當n=2時，m=1.

探究二：在1～3這3個自然數中，每次取兩個不同的數（不分順序），使得所取的兩個數之和大于3，有多少種取法？

根據題意，有下列取法：1+3，2+3，共2種取法．

所以，當n=3時，m=2.

探究三：在1～4這4個自然數中，每次取兩個不同的數（不分順序），使得所取的兩個數之和大于4，有多少種取法？

根據題意，有下列取法：1+4，2+4，3+4，2+3，共有3+1=4種取法．

所以，當n=4時，m=3+1=4.

探究四：在1～5這5個自然數中，每次取兩個不同的數（不分順序），使得所取的兩個數之和大于5，有多少種取法？

根據題意，有下列取法：1+5， 2+5， 3+5， 4+5，2+4，3+4，共有4+2=6種不同的取法．

所以，當n=5時，m=4+2=6.

探究五：在1～6這6個自然數中，每次取兩個不同的數（不分順序），使得所取的兩個數之和大于6，有多少種不同的取法？（仿照上述探究方法，寫出解答過程）

探究六：在1～7這7個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于7，共有 種取法？（直接寫出結果）

不妨繼續探究n=8,9，···時，m與n的關系.

結論：在1～n這n個自然數中，每次取兩個數，使得所取的兩個數字之和大于n，當n為偶數時，共有___種取法；當n為奇數時，共有___種取法；（只填最簡算式）

應用：（1）各邊長都是自然數，最大邊長為11的不等邊三角形共有 個

（2）各邊長都是自然數，最大邊長為12的三角形共有 個

Answer 1

【答案】探究五：有9種不同的取法，解答過程見解析；

探究六：12；

結論：，；

應用：（1）20；（2）42.

【解析】

探究五和探究六依照上述過程寫出即可；
結論：根據n＝2～7時，對應m的值，總結規律即可；
應用：（1）相當于求出n＝10（偶數）時，對應的m的值，再減去相加等于11的情況；
（2）分兩種情況計算：當三角形是不等邊三角形時，按（1）同理得出有25個三角形；當三角形是等腰三角形時，再分12為腰和12為底兩種情況討論求解．

探究五：根據題意，有下列取法：1+6，2+6，3+6，4+6，5+6；2+5，3+5，4+5；4+3共有5+3+1=9種取法，所以，當n = 6時，m = 9；

探究六：根據題意，有下列取法：1+7，2+7，3+7，4+7，5+7，6+7；2+6，3+6，4+6，5+6；3+5，4+5；共有6+4+2=12種取法，所以，當n = 7時，m = 12；

結論：根據n＝2～7時，對應m的值，可得：當n為偶數時，共有種取法，當n為奇數時，共有種取法；

應用：（1）∵最大邊長為11，

∴設另兩邊為a、b，a≠b≠11，

∴另兩邊長可能為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

∴a＋b＞10，共有：＝25（個），

∵a＋b＞11，

∴共有25－5＝20（個），

即各邊長都是自然數，最大邊長為11的不等邊三角形共有20個；

（2）最大邊長為12，設另兩邊為a、b，

當三角形是不等邊三角形時，則另兩邊長可能為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，

∴a＋b＞11，共有：（個），

∵a＋b＞12，

∴不等邊三角形共有：30－5＝25（個），

當三角形是等腰三角形時，①底為12，腰長分別為11，10，9，8，7，一共5個，②腰為12，底為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共12個，

綜上所述，一共有25＋5＋12＝42（個）．