Question

【題目】已知：正方形ABCD中，，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．

（1）當繞點旋轉到時（如圖1），求證：；

（2）當繞點旋轉到時（如圖2），則線段和之間數量關系是 ；

（3）當繞點旋轉到如圖3的位置時，猜想線段和之間又有怎樣的的數量關系呢？并對你的猜想加以說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）BM+DN=MN；

（3）DNBM=MN，理由見解析.

【解析】

（1）延長CB至E使得BE=DN，連接AE，根據SAS證△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根據SAS證出△EAM≌△NAM，即可；
（2）證法與（1）類似，延長CB至E，使得BE=DN，連接AE，根據SAS證△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根據SAS證出△EAM≌△NAM，即可；
（3）DC上截取DE=BM，連接AE，根據SAS證△ADE≌△ABM，推出∠DAE=∠BAM，AE=AM，求出∠EAN=∠MAN.根據SAS證出△MAN≌△EAN即可．

(1)證明：如圖1，延長CB至E使得BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD,

在△ADN和△ABE中

∵

△ABE≌△ADN(SAS)，

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴

∵

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

∴△EAM≌△NAM，

∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN；

(2)線段BM，DN和MN之間數量關系是BM+DN=MN，理由如下：

延長CB至E，使得BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD,

在△ADN和△ABE中，

∵

△ABE≌△ADN(SAS)，

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴

∵

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN，

故答案為BM+DN=MN；

(3)DNBM=MN，理由如下：

如圖3，在DC上截取DE=BM，連接AE，

由(1)知△ADE≌△ABM(SAS)，

∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，

∴

∵

∴∠EAN=∠MAN.

∵在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN(SAS)，

∴EN=MN，

即DNDE=MN，

∴DNBM=MN.