Question

【題目】對于二次函數y＝x2﹣3x+2和一次函數y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線L．現有點A（2，0）和拋物線L上的點B（﹣1，n），請完成下列任務：

（嘗試）

（1）當t＝2時，拋物線y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的頂點坐標為　 　；

（2）判斷點A是否在拋物線L上；

（3）求n的值；

（發現）

通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線L總過定點，坐標為　 　．

（應用）

二次函數y＝﹣3x2+5x+2是二次函數y＝x2﹣3x+2和一次函數y＝﹣2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】[嘗試]（1）（1，﹣2）；（2）點A在拋物線L上；（3）n=6；[發現]（2，0）,（﹣1，6）；[應用]不是，理由見解析．

【解析】

[嘗試]
（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線L直接進行驗證即可；
（3）已知點B在拋物線L上，將該點坐標代入拋物線L的解析式中直接求解，即可得到n的值．
[發現]
將拋物線L展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．
[應用]
將[發現]中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=-3x2+5x+2中進行驗證即可．

解：[嘗試]

（1）∵將t＝2代入拋物線L中，得：

y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，﹣2）．

（2）∵將x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，

∴點A（2，0）在拋物線L上．

（3）將x＝﹣1代入拋物線L的解析式中，得：

n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝6．

[發現]

∵將拋物線L的解析式展開，得：

y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

當x=2時，y=0，當x=-1時，y=6，與t無關，

∴拋物線L必過定點（2，0）、（﹣1，6）．

[應用]

將x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即點A在拋物線上．

將x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，計算得：y＝﹣6≠6，

即可得拋物線y＝﹣3x2+5x+2不經過點B，

∴二次函數y＝﹣3x2+5x+2不是二次函數y＝x2﹣3x+2和一次函數y＝﹣2x+4的一個“再生二次函數”．