Question

【題目】拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為，直線與軸交于點.

（Ⅰ）求頂點的坐標；

（Ⅱ）如圖，設點為線段上一動點（點不與點、重合），過點作軸的垂線與拋物線交于點.求的面積最大值；

（Ⅲ）點在線段上，當時，求點的坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1，-4）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）（，-）

【解析】

（Ⅰ）利用待定系數法把，，代入二次函數中，即可算出b、c的值，得到函數解析式，再用配方法求得頂點的坐標；

（Ⅱ）先根據B、D兩點坐標利用待定系數法確定直線BD的解析式，設點P的坐標為（m，n）,再根據，得出關于點P的橫坐標m的函數關系式，利用配方法即可得出結論；

（Ⅲ）根據B、C、D三點的坐標，利用兩點間的距離公式分別求出CD、BD、CB的平方，再利用勾股定理的逆定理確定BCD為直角三角形，求出tan∠CDB的值，設點Q的坐標為（n，2n-6），再根據已知條件得出tan∠QCE=3，從而列出n的方程，解方程即可確定Q點坐標．

（Ⅰ）∵拋物線y=x2-bx+c的圖象經過點A（-1，0），B（3，0），

∴；

解得：

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3=（x-1）2-4；

∴頂點的坐標為：（1，-4）；

（Ⅱ）設直線BD解析式為y=kx+b，

∵，D（1，-4）．

∴；

解得：

∴直線BD解析式為y=2x-6，

設點P的坐標為（m，n）,

∵點為線段上一動點（點不與點、重合），

∴點P的坐標為：（m，2m-6）（1）；

∵點是過點作軸的垂線與拋物線的交點.

∴點F的坐標為：(m，m2-2m-3)；

∵點P在點F的上方，

∴PF=（2m-6）-（m2-2m-3)=-m2+4m-3

設直線PF交x軸于點G，過點D作DH⊥PF于H,

∵

=-m2+4m-3=-．

∴是關于m的二次函數；

∵a=-1，

∴當m=2時，的面積有最大值，最大值為1．

（Ⅲ）點Q的坐標為（，-）

連接BC、CD，由點、、（1，-4）；

根據兩點間的距離公式可得：，，

；

∴

∴∠DCB=90°

在Rt中，tan∠CDB=

∵∠CDB=∠QCE，∴tan∠QCE =3，

設點Q的坐標為（n，2n-6）

過點Q作QM⊥CE于M,

在Rt中，tan∠QCE==3，∴n=

∴點Q的坐標為（，-）