Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=20，P是AB上（不與點A，B重合）的任一點，點C，D為⊙O上的兩點，若∠APD=∠BPC，則稱∠DPC為直徑AB的“回旋角”，利用圓的對稱性可知：“回旋角”∠DPC的度數與弧CD的度數相等.

（1）若∠DPC為直徑AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，求∠APD的大小；

（2）若直徑AB的“回旋角”為90°，且△PCD的周長為，求AP的長.

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）或

【解析】

（1）根據“回旋角”的定義可得∠APD=∠BPC，結合∠DPC=100°可求∠APD的大小；

（2）如圖三，延長DP交⊙O于點E，連結CE、OC、OD，根據勾股定理求出，可得PC+PD=16，然后在Rt△DPC中，利用勾股定理構造方程求出PD=2，PC=14，或PD=14，PC=2，然后分情況討論，利用△DPA∽△BPE列出比例式，分別求出相應的AP的長即可.

解：（1）∵∠DPC為直徑AB的“回旋角”，

∴∠APD=∠BPC，

又∵∠DPC=100°，

∴∠APD+∠BPC=180°-100°=80°，

∴∠APD=40°；

（2）如圖三，∠DPC=90°，延長DP交⊙O于點E，連結CE、OC、OD，

∵“回旋角”∠DPC的度數與弧CD的度數相等，

∴∠DOC=90°，

∴，

∵△PCD的周長為，

∴PC+PD=16，

設PD=x，則PC=（16-x），

在Rt△DPC中，PD2+PC2=CD2，即，

解得：x1=2，x2=14，

∴PD=2，PC=14，或PD=14，PC=2，

∵∠DOC=90°，∠DPC=90°，

∴∠DEC=45°，

∴PE=PC，

①當PD=2，PE=PC=14時，連結AD，BE，

∵∠DAB=∠DEB，∠DPA=∠BPE，

∴△DPA∽△BPE，

∴，即，

解得：（已舍去不合題意的值），

②當PD=14，PE=PC=2時，

同理可得：.

綜上，AP的長為：或.