Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點．

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標代入y=ax2+bx+c中，得

，解這個方程組，得。

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x。

（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得

拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB。

∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。

連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小。

過點A作AN⊥x軸于點N，

在Rt△ABN中，，

因此OM+AM最小值為。

【解析】

二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，解方程組，二次函數的性質，線段中垂線的性質，三角形三邊關系，勾股定理。

（2）根據O、B點的坐標發現：拋物線上，O、B兩點正好關于拋物線的對稱軸對稱，那么只需連接A、B，直線AB和拋物線對稱軸的交點即為符合要求的M點，而AM+OM的最小值正好是AB的長。

對x=1上其它任一點M′，根據三角形兩邊之和大于第三邊的性質，總有：

O M′+A M′=" B" M′+A M′＞AB=OM+AM，

即OM+AM為最小值。