Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P的縱坐標與其橫坐標的差稱為P點的“坐標差”，記作Zp，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．

（1）①點A（3，1）的“坐標差”為 ；

②求拋物線的“特征值”；

（2）某二次函數的“特征值”為，點B，與點C分別是此二次函數的圖象與軸和軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等．

①直接寫出 ；（用含的式子表示）

②求此二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】（1）①；②拋物線的“特征值”為4；（2）①；②．

【解析】

(1)①由“坐標差”的定義可求出點A(3,1)的“坐標差”;

②用y-x可找出y-x關于x的函數關系式,再利用配方法即可求出y-x的最大值,進而可得出拋物線y=-x +5x的“特征值”;

(2)①利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,由“坐標差”的定義結合點B與點C的“坐標差"相等,即可求出m的值;

②由點B的坐標利用待定系數法可找出b,c之間的關系,找出y-x關于x的函數關系式,再利用二次函數的性質結合二次函數y=-x +bx+c(c≠0)的“特征值"為-1,即可得出關于b的一元二次方程,解之即可得出b的值,進而可得出c的值,此問得解;

解：（1）①

②，

∵，

∴當時，y-x取得最大值，最大值為4．

∴拋物線的“特征值”為4．

（2）①-c

②由①可知：點B的坐標為，．

將點B，代入，得：，

∴（舍去）．

∵二次函數的“特征值”為，

∴的最大值為，

∴，

解得：，

∴，

∴二次函數的解析式為．