Question

【題目】定義：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．

（1）已知x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，求c的值；

（2）若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0無解，求證：它的倒方程也一定無解；

（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0（a≠c）與它的倒方程只有一個公共解，它的倒方程只有一個解，求a和c的值．

Answer 1

【答案】（1）-；（2）見解析；（3）a＝2或a＝﹣2，c＝0

【解析】

（1）先寫出x2+2x+c＝0的倒方程為cx2+2x+1＝0，然后把x＝2代入cx2+2x+1＝0可求出c的值；

（2）根據判別式的意義，由方程ax2﹣2x+c＝0無解得到ac＞1，再寫出一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程為cx2﹣2x+a＝0，計算倒方程的判別式，從而得到結論；

（3）利用倒方程只有一個解可判斷倒方程為一元一次方程，則c＝0，解此方程得，把代入ax2﹣2x＝0得，然后解關于a的方程即可．

（1）解：x2+2x+c＝0的倒方程為cx2+2x+1＝0，

把x＝2代入cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝-；

（2）證明：∵一元二次方程ax2﹣2x+c＝0無解，

∴△＝（﹣2）2﹣4ac＜0，

∴ac＞1，

一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程為cx2﹣2x+a＝0，

∵△′＝（﹣2）2﹣4ca＝4﹣4ac，

而ac＞1，

∴△′＜0，

∴它的倒方程也一定無解；

（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程為cx2﹣2x+a＝0，

而倒方程只有一個解，

∴c＝0，則﹣2x+a＝0，解得，

把代入ax2﹣2x＝0得，

而a≠c，

∴a＝2或a＝﹣2．