Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點F在BC延長線上，且BF=BD，G為DF中點，BG與DC交于點E，以下結論正確的有

 

．
①△BCE≌△DCF        ②E是CD中點
③△BCE∽△DGE        ④2DG²=DE•DC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：證明BG⊥DF，結合∠BCD=90°得到B、C、G、D四點共圓，得到∠FDC=∠EBC；容易證明①③成立；②不成立；證明△DGE∽△DCF，列出比例式即可證明④成立．

解答：解：∵BF=BD，G為DF中點，
∴BG⊥DF；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD；
∴B、C、G、D四點共圓，
∴∠FDC=∠EBC；而∠BEC=∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，故③正確．
在△BCE與△DCF中，

∠EBC=∠FDC BC=CD ∠BCE=∠DCF

，
∴△BCE≌△DCF（ASA），故①正確．
∵BF=BD，且BG⊥DF，
∴BG平分∠DBC，故②不正確．
∵∠GDE=∠CDF，∠DGE=∠DCF，
∴△DGE∽△DCF，
∴DG：DC=DE：DF，而DF=2DG，
∴2DG²=DE•DC．故④正確，
∴結論正確的有①③④．
故答案為①③④．

點評：該題以正方形為載體，主要考查了相似三角形的判定及其性質等幾何知識點的應用問題；牢固掌握有關定理是靈活解決問題的基礎和關鍵．