Question

【題目】已知點P為拋物線yx2上一動點，以P為頂點，且經過原點O的拋物線，記作“yp”，設其與x軸另一交點為A，點P的橫坐標為m．

（1）①當△OPA為直角三角形時，m=　　　　；

②當△OPA為等邊三角形時，求此時“yp”的解析式；

（2）若P點的橫坐標分別為1，2，3，…n(n為正整數)時，拋物線“yp”分別記作“”、“”…，“”，設其與x軸另外一交點分別為A1，A2，A3，…An，過P1，P2，P3，…Pn作x軸的垂線，垂足分別為H1，H2，H3，…Hn．

　1)① Pn的坐標為　　　　；OAn=　　　　；(用含n的代數式來表示)

②當PnHn﹣OAn=16時，求n的值．

　2)是否存在這樣的An，使得∠OP4An=90°，若存在，求n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）① 2；② yx2+2x；（2）1)：① (n，n2)；2n；② n=8；2)：存在，n=10．

【解析】

（1）①由△OPA為直角三角形時．得到△OPA為以點P為頂點的等腰直角三角形，從而可得答案，②由△OPA為等邊三角形，過P作于，利用三角函數與拋物線的解析式，求點的坐標，從而可得答案，

（2）1)①利用Pn的橫坐標為n，結合拋物線的對稱性可得答案，②由 PnHn﹣OAn=16，建立方程求解即可，2) 畫出圖形，證明Rt△OP4H4∽Rt△P4AnH4即可得到答案．

解：（1）①當△OPA為直角三角形時．

∵PO=PA，故△OPA為以點P為頂點的等腰直角三角形，

∴點P的橫坐標和縱坐標相同，故點P(m，m)，

將點P的坐標代入yx2得：mm2，解得：m=0或2(舍去0)．

故答案為：2；

②當△OPA為等邊三角形時，如圖，過P作于，

P(m，m)，

將點P的坐標代入拋物線表達式,

解得：m=2，

故點P的坐標為(2，6)，

故“yp”的解析式為：y=a(x﹣2)2+6，

點A的坐標為(2m，0)，即(4，0)，

將點A的坐標代入y=a(x﹣2)2+6并解得：a，

故“yp”的解析式為：y(x﹣2)2+6x2+2x；

（2）1)①　由題意得：Pn的橫坐標為n，則其坐標為(n，n2)，

由拋物線的對稱性得：An=2n．

故答案為：(n，n2)；2n；

②由題意得：PnHn﹣OAnn2﹣2n=16，

解得：n=8或﹣4(舍去﹣4)，

∴n=8；

　2)存在，理由：

如下圖所示，由1)知，點P4的坐標為(4，8)，An=2n，

即OH4=4，P4H4=8，H4An=2n﹣4，

∵∠OP4An=90°，∴∠OP4H4+∠H4P4An=90°．

∵∠H4P4An+∠P4AnH4=90°，

∴∠OP4H4=∠P4AnH4，

∴Rt△OP4H4∽Rt△P4AnH4，

∴P4H42=OH4H4An，

即82=4×(2n﹣4)，

解得：n=10．

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