Question

【題目】為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件8元，出廠價為每件10元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數：y=-10x+500．

（1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？

（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3410元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

【答案】（1）600元；（2）單價定為29元，每月獲得最大利潤4410元；（3）500元

【解析】

（1）把x＝20代入y＝10x＋500求出銷售的件數，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；
（2）由總利潤＝銷售量每件純賺利潤，得w＝（x8）（10x＋500），把函數轉化成頂點坐標式，根據二次函數的性質求出最大利潤；
（3）令10x2＋580x4000＝3410，求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設政府每個月為他承擔的總差價為p元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值．

解：（1）當x＝20時，y＝10x＋500＝10×20＋500＝300，
300×（108）＝300×2＝600元，
即政府這個月為他承擔的總差價為600元．
（2）由題意得，w＝（x8）（10x＋500）=10x2＋580x4000=-10（x-29）2+4410，

∵a＝10＜0，

∴當x＝29時，w有最大值4410元．
即當銷售單價定為29元時，每月可獲得最大利潤4410元．
（3）由題意得：10x2＋580x4000＝3410，
解得：x1＝19，x2＝39．
∵a＝10＜0，拋物線開口向下，

∴結合圖象可知：當19≤x≤39時，w≥3410．
又∵x≤25，
∴當19≤x≤25時，w≥3410．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p＝（108）×（10x＋500）
＝20x＋1000．
∵20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當x＝25時，p有最小值500元．
即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．