Question

【題目】定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．

如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．

（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；

（2）求出線段AD的長．

Answer 1

【答案】 （1）詳見解析

（2） AD=

【解析】

（1）判斷△ABC∽△BDC，根據對應邊成比例可得出答案。

（2）根據（1）列出方程即可求出AD的長度。

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。∴AD=BD，BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。∴，即。∴AD2=ACCD。

∴點D是線段AC的黃金分割點。

（2）由（1）AD2=ACCD，即AD2=AC（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=。

解得AD=（舍去負值）。

∴AD=。