Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點C(0，4)，點A、B在x軸上，并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A、B、C三點的拋物線上．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)在直線AC上方的拋物線上，是否存在點P，使得△PAC的面積最大？若存在，求出P點坐標及ΔPAC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

(3)在x軸上是否存在點Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋3x＋4；(2)存在, 當P點坐標為（2，6）時，ΔPAC面積的最大值是8；（3）Q(0,0),(－4,0),．

【解析】試題分析：（1）根據點C的坐標，即可求得OC的長，再求得點A、B的坐標，利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）存在，作PN⊥x軸交AC于N，先求得直線AC的解析式，設P（x，x2＋3x＋4），則N(x,－x＋4)，即可得PN＝x2＋4x ，根據三角形的面積公式可得S△PAC＝PN×4＝－2(x－2)2＋8 ，根據二次函數的性質可得當x=2時，ΔPAC面積的最大值為8，再求得點P的坐標即可；（3）根據勾股定理求得AC=4，以A為頂點，以AC為腰時，可得AQ=4，此時可得Q的坐標為（4+4，0）、（4-4，0）；以C為頂點，以AC為腰時，AC=AQ,因OC垂直于x軸，可得OA=OQ,此時點Q的坐標為（-4，0）；以O為頂點，以AC為底邊時，此時點Q的坐標為（0，0），所以符合條件的點Q的坐標為：(0,0)，(－4,0)，．

試題解析：

(1)∵C(0,4)，∴OC＝4．

∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，

∴A(4,0),B(1,0)，

設拋物線解析式：y＝a(x＋1)(x4)，

∴4＝4a，∴a＝1．

∴y＝x2＋3x＋4．

(2)存在．

作PN⊥x軸交AC于N,求得AC的解析式為y＝－x＋4 ，

設P（x，x2＋3x＋4），則N(x,－x＋4),

得PN＝（x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝x2＋4x ，

∴S△PAC＝PN×4＝2PN＝2(x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8 ，

當x=2時，ΔPAC面積的最大值為8，此時點P的坐標為（2，6）.

∴P點坐標為（2，6）時，ΔPAC面積有最大值，最大面積是8 .

(3) 根據勾股定理求得AC=4，分三種情況：

①以A為頂點，以AC為腰時，可得AQ=4，此時可得Q的坐標為（4+4，0）、（4-4，0）；

②以C為頂點，以AC為腰時，AC=AQ,因OC垂直于x軸，可得OA=OQ,此時點Q的坐標為（-4，0）；

③以O為頂點，以AC為底邊時，此時點Q的坐標為（0，0），

綜上，符合條件的點Q的坐標為：(0,0)，(－4,0)，．