Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+m﹣1交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，若A點坐標為(x1，0)，B點坐標為(x2，0)（x1≠x2）．

（1）求m的取值范圍；

（2）如圖1，若x12+x22＝17，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，請解答下列兩個問題：

①如圖1，請連接AC，求證：△ACB為直角三角形．

②如圖2，若D(1，n)在拋物線上，過點A的直線y＝﹣x﹣1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣；（2）y＝﹣x2+x+2；（3）①見解析；②存在，P(，0)或(﹣，0)

【解析】

（1）利用根的判別式，若有兩個實根，則；

（2）利用一元二次方程兩根與系數的關系，又x12+x22＝17，即可求解；

（3）①求出A，B，C三點坐標，計算得出AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，根據勾股定理逆定理即可求解；

②分△PBD∽△BAE、△PBD∽△EAB兩種情況，分別求解即可．

解：（1）△＝（）2﹣4×（﹣）（m﹣1）＝+2m﹣2＝2m+，

由題可得2m+＞0，

∴m＞﹣；

（2）∵x1+x2＝3，x1x2＝﹣2（m﹣1），

又x12+x22＝17，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝17∴32+4（m﹣1）＝17，

∴m＝3，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；

（3）①證明：令y＝0，﹣x2+x+2＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝4，

∴（﹣1，0），B（4，0）

令x＝0，y＝2，

∴C（0，2），

∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25

∴AC2+BC2＝AB2∴△ACB為直角三角形；

②根據拋物線的解析式易知：D（1，3），

聯立直線AE、拋物線解析式：，解得或，

∴E（6，﹣7），

∴tan∠DBO＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝1，即∠EAB＝45°，

∴∠DBA＝∠EAB，

若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：

①△PBD∽△BAE； ②△PBD∽△EAB．

易知BD＝3，EA＝7，AB＝5，

由①得：，即，即.

由②得：，即，即PB＝，OP＝OB﹣BP＝﹣，

∴P（，0）或（﹣，0）．