Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（﹣4，0），點P在AB上，連結CP與y軸交于點D，連結BD．過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連結EF，BF．

（1）求直線AB的函數解析式；

（2）求證：∠BDE=∠ADP；

（3）設DE=x，DF=y．請求出y關于x的函數解析式；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）詳見解析；（3）y=x

【解析】

（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，把點B的坐標（4，0）代入即可；
（2）先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP；
（3）先連結PE，根據三角形外角的性質得∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，由圓周角定理得∠DEP=∠ABD，由（2）知∠ADP=∠BDE，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，由直徑所對的圓周角是直角得∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=DE，即y=x．

解：（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，

代入點B（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=﹣1，

則直線AB的函數解析式為y=﹣x+4；

（2）由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BOD≌△COD，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP；

（3）連結PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一個外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直徑，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；