Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(8，1)，B(0，3)，反比例函數(x>0)的圖象經過點A，動直線x=t(0<t<8)與反比例函數的圖象交于點M，與直線AB交于點N.

(1)求k的值；

(2)求△BMN面積的最大值；

(3)若MA⊥AB，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）k=8；（2）△BMN面積最大值為；（3）.

【解析】

（1）把點A坐標代入y＝（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直線AB的解析式，設M（t，），N（t，t3），則MN＝t＋3，由三角形的面積公式得出△BMN的面積是t的二次函數，即可得出面積的最大值；
（3）求出直線AM的解析式，由反比例函數解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標，即可得出結果．

（1）把點A（8，1）代入反比例函數y＝（x＞0）得：1＝，
∴k＝8；
（2）設直線AB的解析式為：y＝kx＋b（k≠0），
根據題意得：，
解得：k＝，b＝3，
∴直線AB的解析式為：y＝x3，
設M（t，），則N（t，t3），
∴MN＝t＋3，
∴△BMN的面積S＝（t＋3）·t＝t2＋t＋4＝（t3）2＋，
∵＜0，
∴S有最大值，
當t＝3時，△BMN的面積的最大值為；
（3）∵MA⊥AB，
∴設直線MA的解析式為：y＝2x＋c，
把點A（8，1）代入得：1＝2×8＋c，解得：c＝17，
∴直線AM的解析式為：y＝2x＋17，
聯立，解得：或（舍去），
∴M的坐標為（，16），
∴t＝．