【題目】問題探究
（1）如圖①，已知
與直線
，過
作
于點
，
，的半徑為
，則圓上一點
到的距離的最小值是______；
（2）如圖②，在四邊形
中，
，
，
，
，過點作一條直線交邊
或
于，若
平分四邊形的面積，求的長；
問題解決
（3）如圖③所示，是由線段
、
、與弧
圍成的花園的平面示意圖，
，
，
//，CD⊥BC，點
為的中點，所對的圓心角為
．管理人員想在上確定一點
，在四邊形
區域種植花卉，其余區域種植草坪，并過點修建一條小路
，把四邊形分成面積相等且盡可能小的兩部分，分別種植不同的花卉．問是否存在滿足上述條件的小路？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在滿足上述條件的小路
，的長為
．
【解析】
（1）圓上一點
到
的距離的最小值即是圓心到直線的距離與圓的半徑之差，依此計算即可；
（2）過點
作
于
，連接
、
，先計算出四邊形ABCD的面積為32，△ABC的面積為22，可得點P在BC上，求出
，從而可得AP；
（3）要使四邊形
的面積最小，則
的面積需最小．點
到
的距離最短，則的面積最小．求出最小
即可.
（1）∵
，
的半徑為
，
∴圓上一點到的距離的最小值為：7-5=2，
故答案為：2；
（2）過點作于，連接、，則
，如圖，
．
，
點在
上，
（3）連接，
，點為的中點，
，
，
，
四邊形
是矩形，
，
，
．
要使四邊形的面積最小，則的面積需最小．
設
所在圓的圓心為
，則
，過作
于
，交
于點
，交于，由（1）可得此時點到的距離最短，即的面積最小．
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
點
在
上，
則
，
，
，
存在滿足上述條件的小路，的長為．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(8，1)，B(0，3)，反比例函數
(x>0)的圖象經過點A，動直線x=t(0<t<8)與反比例函數的圖象交于點M，與直線AB交于點N.
(1)求k的值；
(2)求△BMN面積的最大值；
(3)若MA⊥AB，求t的值.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某年級共有150名女生，為了解該校女生實心球成績（單位：米）和仰臥起坐（單位：個）的情況，從中隨機抽取30名女生進行測試，獲得了她們的相關成績，并對數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
．實心球成績的頻數分布表如下：
分組 | 6．2≤ | 6．6≤ | 7．0≤ | 7．4≤ | 7．8≤ | 8．2≤ |
頻數 | 2 |
| 10 | 6 | 2 | 1 |
．實心球成績在7．0≤
＜7．4．這組的是：
7.0 | 7.0 | 7.0 | 7.1 7.1 | 7.1 | 7.2 | 7.2 | 7.3 | 7.3 |
．一分鐘仰臥起坐成績如圖所示：
根據以上信息，回答下列問題：
（1）①表中m的值為 ；
②抽取學生一分鐘仰臥起坐成績的中位數為 個；
（2）若實心球成績達到7．2米及以上，成績記為優秀，請估計全年級女生成績達到優秀的人數．
（3）該年級某班體育委員將本班在這次抽樣測試中被抽取的8名女生的兩項成績的數據抄錄如下：
女生代碼 | A | B | C | D | E | F | G | H |
實心球 | 8．1 | 7．7 | 7．5 | 7．5 | 7．3 | 7．2 | 7．0 | 6．5 |
一分鐘仰臥起坐 | * | 42 | 47 | * | 47 | 52 | * | 49 |
其中有2名女生的一分鐘仰臥起坐成績未抄錄完整，當老師說這8名女生恰好有4人兩項測試成績都達到了優秀，于是體育委員推測女生E的一分鐘仰臥起坐成績達到了優秀，你同意體育委員的說法嗎？并說明你的理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，點
，點
．將
繞點
順時針旋轉，得
，點
，
旋轉后的對應點為
，
．記旋轉角為
．
（1）如圖①，當
時，求點的坐標；
（2）如圖②，當
時，求點的坐標；
（3）連接
，設線段
的中點為
，連接
，求線段的長的最小值（直接寫出結果即可）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如圖1，已知銳角
內有定點
，過點任意作一條直線
，分別交射線
，
于點M，N．若是線段的中點時，則稱直線是的中點直線．如圖2，射線
的解析式為
與
軸的夾角為
，
，為的中點直線．
（1）求直線的解析式；
（2）若過點任意作一條直線
，分別交射線，軸的正半軸于點
，
，記
的面積為
，
的面積為
．求證：
．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線
過點
，頂點
在第三象限，
，
是拋物線的對稱軸
上的兩點，且
，在直線左側以
為邊作正方形
，點
恰好在拋物線上．
（1）用含
的式子表示
；
（2）求證：點和點
關于直線對稱；
（3）判斷直線
和直線
（
是常數，且
）的交點是否在拋物線上，并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某中學八年級學生在寒假期間積極抗擊疫情，開展老師“在你身邊”評星活動，學生可以從“自理星” 、“讀書星”、“健康星”、“孝敬星”、“ 勞動星”等中選一個項目參加爭星競選，根據該校八年級學生的“爭星”報名情況，繪制成了如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息回答下列問題：
（1）參加年級評星的學生共有________人；將條形統計圖補充完整；
（2）扇形統計圖中“讀書星”對應的扇形圓心角度數是________；
（3）若八年級1班準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名代表班級參加學校的“勞動星” 報名，請用表格或樹狀圖分析甲和乙同學同時被選中的概率．
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