Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，C分別是直線y=﹣x+4與坐標軸的交點，點B的坐標為（﹣2，0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC于點E，點F在邊AB上，且D，F兩點關于y軸上的某點成中心對稱，連結DF，EF．設點D的橫坐標為m，EF2為l，請探究：

①線段EF長度是否有最小值．

②△BEF能否成為直角三角形．

小明嘗試用“觀察﹣猜想﹣驗證﹣應用”的方法進行探究，請你一起來解決問題．

（1）小明利用“幾何畫板”軟件進行觀察，測量，得到l隨m變化的一組對應值，并在平面直角坐標系中以各對應值為坐標描點（如圖2）．請你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想l與m可能滿足的函數類別．

（2）小明結合圖1，發現應用三角形和函數知識能驗證（1）中的猜想，請你求出l關于m的函數表達式及自變量的取值范圍，并求出線段EF長度的最小值．

（3）小明通過觀察，推理，發現△BEF能成為直角三角形，請你求出當△BEF為直角三角形時m的值．

Answer 1

【答案】（1）連線見解析，二次函數；（2）；（3）m=0或m=

【解析】

（1）根據描點法畫圖即可；

（2）過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性質得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根據勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函數的性質可得出答案；

（3）分三種不同情況，根據直角三角形的性質得出m的方程，解方程求出m的值，則可求出答案．

解：（1）用描點法畫出圖形如圖1，由圖象可知函數類別為二次函數．

（2）如圖2，過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，

則∠FGK=∠DHK=90°，

記FD交y軸于點K，

∵D點與F點關于y軸上的K點成中心對稱，

∴KF=KD，

∵∠FKG=∠DKH，

∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），

∴FG=DH，

∵直線AC的解析式為y=﹣x+4，

∴x=0時，y=4，

∴A（0，4），

又∵B（﹣2，0），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

解得，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

過點F作FR⊥x軸于點R，

∵D點的橫坐標為m，

∴F（﹣m，﹣2m+4），

∴ER=2m，FR=﹣2m+4，

∵EF2=FR2+ER2，

∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，

令﹣+4=0，得x=，

∴0≤m≤．

∴當m=1時，l的最小值為8，

∴EF的最小值為2．

（3）①∠FBE為定角，不可能為直角．

②∠BEF=90°時，E點與O點重合，D點與A點，F點重合，此時m=0．

③如圖3，∠BFE=90°時，有BF2+EF2=BE2．

由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，

又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，

∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，

又∵BE2=（m+2）2，

∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，

化簡得，3m2﹣10m+8=0，

解得m1=，m2=2（不合題意，舍去），

∴m=．

綜合以上可得，當△BEF為直角三角形時，m=0或m=．