Question

12．如圖，已知等邊△ABC邊長為8 cm，D為BC中點，E為直線AD上一動點，將EC繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接DF，則線段DF最小值為2．

Answer 1

分析 連接BF．只要證明△ACE≌△BCF，推出∠CBF=∠CAE=30°，推出當DF⊥BF時，DF的值最小，最小值為BD•sin30°．

解答 解：如圖，連接BF．

∵△ABC是等邊三角形，BD=DC，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠DAB=∠DAC，
∵EC=EF，∠CEF=60°，
∴△ECF是等邊三角形，
∴∠ECF=∠ACB=60°，EC=CF，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACE=∠BCF}\\{EC=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴當DF⊥BF時，DF的值最小，最小值為BD•sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，

故答案為2．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、垂線段最短等知識，解題的關鍵是利用全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．