Question

7．如圖1，點A（0，a），B（-a，0）分別在y軸，x軸上（a＞0），以AB為對角線作長方形ACBD，點C在第二象限內運動．
（1）若方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，求A，B兩點的坐標；
（2）延長BD交y軸于E，AD交x軸于F，連結EF，求證：EF⊥AB；
（3）如圖2，連結OD，求∠ODA的度數．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到結論；
（2）延長EF交AB于G，由點A（0，a），B（-a，0），得到AO=BO=a，求得∠ABO=∠BAO=45°，根據余角的性質得到∠OAF=∠OBE，根據全等三角形的性質得到OF=OE，得到∠OFE=45°，求得∠GFB=∠OFE=45°，于是得到結論；
（3）根據圓周角定理即可得到結論．

解答 解：（1）解方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$得x=4，
∵方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，
∴a=4，
∴點A（0，4），B（-4，0）；

（2）延長EF交AB于G，
∵點A（0，a），B（-a，0），
∴AO=BO=a，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵四邊形ACBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°，
∴∠OAF+∠AED=∠OBE+∠AED=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
在△AOF與△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OBE}\\{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OF=OE，
∴∠OFE=45°，
∴∠GFB=∠OFE=45°，
∴∠GBF=45°，
∴∠BGF=90°，
∴EF⊥AB；

（3）∵∠ADB=∠AOB=90°，
∴A，B，D，O四點共圓，
∴∠ADO=∠ABO=45°．

點評 本題考查了全是三角形的判定和性質，分式方程的解法，矩形的性質，四點共圓，正確的識別圖形是解題的關鍵．