Question

【題目】如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與y軸交于點A，拋物線y=（x﹣1）2+m也經過點A，其頂點為B，將該拋物線沿直線l平移使頂點B落在直線l的點D處，點D的橫坐標n（n＞1）．

（1）求點B的坐標；

（2）平移后的拋物線可以表示為　　（用含n的式子表示）；

（3）若平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，且點C的橫坐標為a．

①請寫出a與n的函數關系式．

②如圖2，連接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.

【解析】

1) 首先求得點A的坐標, 再求得點B的坐標, 用h表示出點D的坐標后代入直線的解析式即可驗證答案。

(2) ①根據兩種不同的表示形式得到m和h之間的函數關系即可。

②點C作y軸的垂線, 垂足為E, 過點D作DF⊥CE于點F, 證得△ACE~△CDF, 然后用m表示出點C和點D的坐標, 根據相似三角形的性質求得m的值即可。

解：（1）當x=0時候，y=﹣x+2=2，

∴A（0，2），

把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2

∴m=1．

∴y=（x﹣1）2+1，

∴B（1，1）

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=（x﹣1）2+1，

∵∵D（n，2﹣n），

∴則平移后拋物線的解析式為：y=（x﹣n）2+2﹣n．

故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．

（3）①∵C是兩個拋物線的交點，

∴點C的縱坐標可以表示為：

（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2

由題意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，

整理得2an﹣2a=n2﹣n

∵n＞1

∴a==．

②過點C作y軸的垂線，垂足為E，過點D作DF⊥CE于點F

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠CDF

又∵∠AEC=∠DFC

∴△ACE∽△CDF

∴=．

又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），

∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a

∴=

∴a2﹣2a=1

解得：a=±+1

∵n＞1

∴a=＞

∴a=+1