Question

【題目】已知，如圖1，二次函數y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為C與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），點C、B關于過點A的直線l：y＝kx+對稱．

（1）求A、B兩點坐標及直線l的解析式；

（2）求二次函數解析式；

（3）如圖2，過點B作直線BD∥AC交直線l于D點，M、N分別為直線AC和直線l上的兩個動點，連接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（1，0），直線l的表達式為：y＝x+;(2) 二次函數解析式為：y＝﹣x2﹣x+；(3)8.

【解析】

（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣1或3，即可求解；

（2）設點C的坐標為（﹣1，m），點C、B關于過點A的直線l：y＝kx+對稱得AC2＝AB2，即可求解；

（3）連接BC，則CN+MN的最小值為MB（即：M、N、B三點共線），作D點關于直線AC的對稱點Q交y軸于點E，則MB+MD的最小值為BQ（即：B、M、Q三點共線），則CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，即可求解．

解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣1或3，

即點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（1，0），

點A坐標代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：

即直線l的表達式為：①，

同理可得直線AC的表達式為：

直線BD的表達式為：②，

聯立①②并解得：x＝3，在點D的坐標為（3，2）；

（2）設點C的坐標為（﹣1，m），點C、B關于過點A的直線l：y＝kx+對稱得AC2＝AB2，

即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：（舍去負值），點C（1，2），

將點C的坐標代入二次函數并解得：

故二次函數解析式為：

（3）連接BC，則CN+MN的最小值為MB（即：M、N、B三點共線），

作D點關于直線AC的對稱點Q交y軸于點E，則MB+MD的最小值為BQ（即：B、M、Q三點共線），

則CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，

∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，

作DF⊥x軸交于點F，

DF＝ADsin∠DAF

∵B、C關于直線l對稱，即直線l是∠EAF的平分線，

∴ED＝FD＝2，

則QD＝4，BD＝4，

∴BQ

即CN+NM+MD的最小值為8．