Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓O上一點，連接OD，BD，∠ABD＝30°，過A點作半圓O的切線交OD的延長線于點G，點E是上的一個動點，連接AD、DE、BE.

（1）求證：△ADG≌△BOD；

（2）填空：

①當∠DBE的度數為　 時，四邊形DOBE是菱形；

②連接OE，當∠DBE的度數為　 時，OE⊥BD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30°；②30°．

【解析】

（1）先根據圓周角定理易證△AOD是等邊三角形，再根據切線的性質得到∠GAO＝90°，然后通過“角邊角”即可得證；

（2）①因為BD是菱形DOBE的對角線，根據菱形的對角線平分對角即可得解；

②由（1）知，∠BOD＝120°，由OE⊥BD，可得∠DOE＝∠BOE＝60°，再根據圓周角定理即可得解.

（1）∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD＝30°，

∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠ADO＝60°，OA＝OD＝AD，

∴∠ADG＝∠DOB＝120°，

∵AG切⊙O于A，

∴∠GAO＝90°，

∴∠GAD＝30°＝∠OBD，

∴△ADG≌△BOD（ASA）；

（2）∵BD是菱形DOBE的對角線，

∴∠DBE＝∠OBD＝30°，

即：當∠DBE＝30°時，四邊形DOBE是菱形，

故答案為30°；

（3）如圖，

由（1）知，∠BOD＝120°，

∵OE⊥BD，

∴∠DOE＝∠BOE＝∠BOD＝×120°＝60°，

∴∠DBE＝∠DOE＝×60°＝30°，

故答案為：30°．