Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，F是AC中點，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線，延長DF交AN于點E，連接CE．

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；

（2）填空：①若BC＝AB＝4，則四邊形ABDE的面積為　　．

②當△ABC滿足　　時，四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①4，②∠BAC＝90°

【解析】

（1）利用角平分線、等邊對等角和外角可先證出∠MAE＝∠B，所以AN∥BC，利用F是AC的中點可證△AFE≌△CFD，即可得到EF=FD，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形所以四邊形ADCE為平行四邊形，再利用AB＝AC，點D為BC中點，可以得到AD⊥BC，

有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得：四邊形ADCE為矩形；

（2）由D、F分別是BC、AC的中點，利用中位線的性質可得：DF∥AB，易證四邊形ABDE是平行四邊形，利用BC＝AB＝4，AB＝AC，可得△ABC是等邊三角形，最后利用銳角三角函數求出高AD即可.

（3）可根據四邊形ADCE是矩形，若再有一組鄰邊相等即為正方形不防使AD=DC，此時不難發現△ADC為等腰直角三角形，故∠ACB=45°，再根據△ABC為等腰三角形，即可得到∠BAC=90°.

證明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠MAE＝∠MAC，

∵∠MAC＝∠B+∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠MAE＝∠B，

∴AN∥BC，

∴∠EAF=∠DCF

在△AFE和△CFD中

∴△AFE≌△CFD

∴EF=FD

∴四邊形ADCE為平行四邊形

∵AB＝AC，點D為BC中點，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴四邊形ADCE為矩形；

（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中點，F是AC中點，

∴DF∥AB，

由（1）知AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵BC＝AB＝4，AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABD＝60°，

∵D為BC的中點，

∴∠ADC＝90°，BD＝2，

∴，

∴四邊形ABDE的面積為BD×AD＝2×＝4，

故答案為：4；

②解：答案不唯一，如當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是正方形．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∵D為BC的中點，

∴AD＝DC，

∵四邊形ADCE為矩形，

∴四邊形ADCE為正方形．

故答案為：∠BAC＝90°．