Question

【題目】問題情境：

我們知道若一個矩形的周長固定，當相鄰兩邊相等，即為正方形時，面積是最大的，反過來，若一個矩形的面積固定，它的周長是否會有最值呢？

方法探究：

用兩條直角邊分別為、的四個全等的直角三角形，可以拼成一個正方形，

若，可以拼成如圖1的正方形，從而得到，即；

若，可以拼成如圖2的正方形，從而得到，即．

于是我們可以得到結論：，為正數，總有，且當時，代數式取得最小值為．

另外，我們也可以通過代數式運算得到類似上面的結論．

∵，

∴，，

∴對于任意實數，，總有，

且當時，代數式取得最小值為．

類比應用：

（1）對于正數，，試比較和的大小關系，并說明理由．

（2）填空：

當時，________．

代數式有最________值為________．

問題解決：

（3）若一個矩形的面積固定為，它的周長是否會有最值呢？若有，求出周長的最值，及此時矩形的長和寬；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；小；；（3）若一個矩形的面積固定為，它的周長是有最小值，周長的最小值為，矩形的長和寬均為

【解析】

（1）根據探究方法中的結論，代入數據即得出結論；

（2）先將代數式－2，再＋2，根據探究方法中的結論，代入數據即得出結論；

（3）設該矩形的長為，寬為，根據，結合矩形的周長和面積公式即可得出結論．

探究方法：

（1）解：∵當，均為正數時，

∵

∴，

∴.

類比應用：

（2）結合探究方法中得出的結論可知：

當時，，代數式有最小值為.

（3）問題解決：

解：設該矩形的長為，寬為，

根據題意知：周長，

且當時，代數式取得最小值為，

此時.

故若一個矩形的面積固定為，它的周長是有最小值，周長的最小值為，此時矩形的長和寬均為.