Question

【題目】如圖，是的直徑，點是圓上一點，，垂足為點，交于點，且．

（1）若點是的中點，求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若的半徑為10，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用SAS證明△BOF≌△CEF即可證得CE=BO；

（2）先證明∠OCB=∠D，因為∠DCF+∠D=90°，所以∠DCF+∠OCB=90°即CD⊥CD，因為OC是⊙O的半徑，所以CD是⊙O的切線

（3）在Rt△OCF中，已知OC=10，可求得，根據勾股定理OF=6

證明Rt△OFC∽Rt△OCD，得出，即可求出OD，進而求出DE，即可求出．

（1）∵OD⊥BC，OE是⊙O的半徑

∴∠BFO=∠CFE=90°，BF=CF

∵F是OE的中點

∴EF=OF

在△BOF和△CEF中

∴△BOF≌△CEF（SAS）

∴CE=BO

（2）如圖，連接OC

∵OB=OC

∴∠OCB=∠B

∵∠B=∠AEC，∠D=∠AEC

∴∠B=∠D

∴∠OCB=∠D

∵OD⊥BC

∴∠DCF+∠D=90°

∴∠DCF+∠OCB=90°即∠OCD=90°

∴CD⊥CD

∵OC是⊙O的半徑

∴CD是⊙O的切線

（3）在Rt△OCF中，OC=10

∵OD⊥BC，OE是⊙O的半徑

∴

∴在Rt△OCF中，

∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD=90°

∴Rt△OFC∽Rt△OCD

∴即

∴

∴

∴

故答案為：