Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E．

（1）求證：BD=DE+CE；

（2）若直線AE繞點A旋轉到圖2位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關系如何，請證明；

（3）若直線AE繞點A旋轉到圖3時（BD＞CE），其余條件不變，BD與DE，CE的關系怎樣？請直接寫出結果，不須證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=DE+CE；（3）BD=DE+CE．

【解析】

試題分析：本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及到直角三角形的性質、余角和補角的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．

（1）根據已知條件易證得∠BAD=∠ACE，且根據全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據各線段的關系即可得結論．

（2）BD=DE+CE．根據全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據各線段的關系即可得結論．

（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．

試題解析：（1）在△ABD和△CAE中，

∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD．

又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．（AAS），

∴BD=AE，AD=CE．又AE=AD+DE，∴AE=DE+CE，即BD=DE+CE．

（2）BD=DE﹣CE．

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA．∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，即 BD=DE﹣CE

（3）同理：BD=DE﹣CE．