Question

如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE．
（1）求證：BE=CE；
（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）π．

試題分析：（1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得BE=CE；
（2）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB=30°，則根據三角形內角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
根據含30度的直角三角形三邊的關系得到ED=BD=，然后根據扇形的面積公式求解．
試題解析：（1）證明：∵點D是線段BC的中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BE=CE；
（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=BD=，
∴陰影部分（扇形）的面積==π．
【考點】1.全等三角形的判定與性質；2.等邊三角形的性質；3.扇形面積的計算．