Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點，連接PG、PC．
（1）如圖1，當點G在BC邊上時，易證：PG=PC．（不必證明）
（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數量關系，寫出你的猜想，并給與證明；
（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數量關系，寫出你的猜想（不必證明）．

Answer 1

（2)猜想：PG=PC,證明見解析
(3)猜想：PG=PC

試題分析：（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明△DPE≌△FPG，再證得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC．
（3）PG=PC．
試題解析：（2）猜想：PG=PC
如圖2，延長GP交DA于點E，連接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF//BC//AD，
∴∠EDP=∠GFP，
又∵DP=FP，∠DPE=∠FPG
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°
∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．