Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

連接AD交EF與點M′，連結AM，由線段垂直平分線的性質可知AM＝MB，則BM+DM＝AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據要三角形三線合一的性質可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據三角形的面積為12可求得AD的長．

解：連接AD交EF與點M′，連結AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BCAD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM＝BM．

∴BM+MD＝MD+AM．

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周長的最小值為DB+AD＝2+6＝8．