Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點A（-1，0），點B（3，0），交y軸正半軸于點C，給出下列結論：

①a＝－1, b＝2, c＝3；

②若0＜x＜4，則5a＜y＜－3a；

③對任意實數m，一定有am2＋bm＋a≤0；

④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的兩個根為－1和．其中正確的結論是(　　)

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用交點式寫出拋物線解析式為y=ax2-2ax-3a，則可對①進行判斷；配成頂點式得y=a（x-1）2-4a，計算x=4時，y=a51=5a，則根據二次函數的性質可對②進行判斷；根據頂點式，拋物線向下平移-4a個單位，解析式為：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，可對③進行判斷；由于b=-2a，c=-3a，則方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0，然后解方程可對④進行判斷．

∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（-1，0），點B（3，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a，

∴b=-2a，c=-3a，

∴a：b：c=-1：2：3，故①錯誤；

當x=4時，y=a（x+1）（x-3）=a51=5a，y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴當0＜x＜4時，則5a＜y＜-4a，所以②錯誤；

∵y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴頂點坐標為（1，-4a），

∵拋物線開口向下，c=-3a，

∴拋物線向下平移-4a個單位，則拋物線頂點為（1，0），

∴平移后的解析式為：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正確；

∵b=-2a，c=-3a，

∴方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0，

整理得3x2+2x-1=0，解得x1=-1，x2=，所以④正確．

故選D.