Question

【題目】（2014河南22題）

（1）問題發現

如圖①，和均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE；

填空：

①的度數為__________；

②線段AD、BE之間的數量關系為__________．

（2）拓展探究

如圖②，和均為等腰直角三角形，，點A、D、E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．請判斷的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由；

（3）解決問題

如圖③，在正方形ABCD中，，若點P滿足，且，請直接寫出點A到BP的距離．

圖① 圖② 圖③

Answer 1

【答案】（1）①60°；②；（2）①；②，詳見解析；（3）或

【解析】

（1）[思維教練]由和均為等邊三角形可證，即可知AD與BE之間的數量關系，再由等邊三角形和全等三角形的性質求得的度數；

[自主作答]

（2）[思維教練]由和均為等腰直角三角形可證，即可知，，再由是等腰直角三角形，可知，從而證明結論．

[自主作答]

（3）[思維教練]根據題意可作以點D為圓心，PD長為半徑的圓，再過點B作圓的切線，分兩種情況：第一種情況過點A作于點M，過點A作AP的垂線，交BP于點，易證，即可得，由勾股定理可求PB的長，從而求得的長，再由是等腰直角三角形可得，即可求解；第二種情況與第一種情況相同解法可得，運用勾股定理和全等三角形求出與PB的長即可求解．

解：(1)① 60°；②；

[解法提示]①和均為等邊三角形，，，，，，，，，，，；②由①得，．

(2)①；②．理由如下：和均為等腰直角三角形，，，，，即，，，，．在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，，，；

(3) 或．

[解法提示]，，是以點為圓心，以1為半徑的的切線，點為切點．第一種情況：如解圖①，過點作于點，作交于點，易證，，．，，，．，，第二種情況：如解圖②，可得．

圖① 圖②