Question

【題目】如圖①，直線l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△COD，過點A、B、D的拋物線P叫做l的關聯拋物線，而l叫做P的關聯直線．

（1）若l：y＝﹣2x+2，則P表示的函數解析式為　 　；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數解析式為　 　．

（2）求P的對稱軸（用含m、n的代數式表示）；

（3）如圖②，若l：y＝﹣2x+4，P的對稱軸與CD相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上．當以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；y＝﹣4x+4；（2）；（3）滿足條件的點Q坐標為、．

【解析】

（1）若l：y=-2x+2，求出點A、B、D的坐標，利用待定系數法求出P表示的函數解析式；若P：y=-x2-3x+4，求出點D、A、B的坐標，再利用待定系數法求出l表示的函數解析式；

（2）根據對稱軸的定義解答即可；

（3）以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎，列方程求出點Q的坐標．

解：（1）若l：y＝﹣2x+2，則A（1，0），B（0，2）．

∵將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△COD，

∴D（﹣2，0）．

設P表示的函數解析式為：y＝ax2+bx+c，將點A、B、D坐標代入得：

，

解得，

∴P表示的函數解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；

若P：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+4）（x﹣1），

則D（﹣4，0），A（1，0）．

∴B（0，4）．

設l表示的函數解析式為：y＝kx+b，將點A、B坐標代入得：

，解得，

∴l表示的函數解析式為：y＝﹣4x+4．

故答案為：y＝﹣x2﹣x+2；y＝﹣4x+4．

（2）直線l：y＝mx+n，（m＜0，n＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點，

∴，B（0，n），D（﹣n，0）．

設拋物線對稱軸與x軸的交點為N（x，0）．

∵DN＝AN．

∴，

∴，

∴p的對稱軸為．

（3）l：y＝﹣2x+4，

當x=0時，y=4；當y=0時，x=2，

∴A（2，0）、B（0，4）．

∵OC=OA,OD=OB,

∴C（0，2），D（﹣4，0）．

設yCD=k1x+b1,

∴,

∴

∴直線CD的解析式為：．

由（2）可得，p的對稱軸為x＝﹣1．

∵以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形．

∴FQ∕∕CE，且FQ＝CE．

設直線FQ的解析式為：．

∵點E、點C的橫坐標相差1．

∴點F、點Q的橫坐標也是相差1．

則|xF﹣（﹣1）|＝|xF+1|＝1．

解得xF＝0或xF＝﹣2．

∵點F在直線l1：y＝﹣2x+4上．

∴點F坐標為（0，4）或（﹣2，8）．

若F（0，4），

∴b=4,

∴直線FQ的解析式為：．

當x＝﹣1時，．

∴．

若F（﹣2，8），

∴8=-1+b,

∴b=9,

∴直線FQ的解析式為：．

當x＝﹣1時，，

∴．

∴滿足條件的點Q坐標為、．