Question

4．先觀察下面的解題過程，然后解答問題：
題目：化簡：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
解：
（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）
=2⁸-1．
問題：
（1）化簡（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）．
（2）求（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$（n可以寫成2ⁿ的形式，k為正整數）的值．

Answer 1

分析 （1）仿照例題，式子乘1后結果不變，所以式子乘（2-1），反復運用平方差公式，得出結果；
（2）仿照例題，式子乘1后結果不變，所以式子乘$\frac{1}{2}$（3-1）后，運用平方差公式，計算出結果．

解答 解：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=2¹²⁸-1；
（2）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{1}{2}（3-1）$（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（3²ⁿ-1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{{9}^{n}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{{9}^{n}}{2}$
=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了平方差公式．解決本題的關鍵是式子乘以（2-1）、$\frac{1}{2}$（3-1）后，運用平方差公式．