Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．

（1）請直接寫出線段AF，AE的數量關系；
（2）將△CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；
（3）在圖②的基礎上，將△CED繞點C繼續逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否發生變化？若不變，結合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）AF= AE
（2）

解：如圖②中，結論：AF= AE．

理由：連接EF，DF交BC于K．

∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，

∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，

∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，

∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，

∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA，

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF= AE

（3）

解：如圖③中，結論不變，AF= AE．

理由：連接EF，延長FD交AC于K．

∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，

∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，

∴∠EDF=∠ACE，

∵DF=AB，AB=AC，

∴DF=AC

在△EDF和△ECA中，

，

∴△EDF≌△ECA，

∴EF=EA，∠FED=∠AEC，

∴∠FEA=∠DEC=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF= AE

【解析】解：（1）如圖①中，結論：AF= AE．

理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF= AE．
故答案為AF= AE．
（1）如圖①中，結論：AF= AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如圖②中，結論：AF= AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結論不變，AF= AE，連接EF，延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考常考題型．