Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線交于、兩點，直線分別交軸、軸于、兩點，為軸上一點．已知，點坐標為．

　　

（1）將線段沿軸平移得線段（如圖1），在移動過程中，是否存在某個位置使的值最大？若存在，求出的最大值及此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

（2）將直線沿射線平移，平移過程中交的圖象于點（不與重合），交軸于點（如圖２）．在平移過程中，是否存在某個位置使為以為腰的等腰三角形？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）|BO′﹣AE′|的最大值為，此時點O′的坐標（﹣，0）；

（2）存在，點M的坐標為（，）或（8，）

【解析】

（1）把A向左平移5個單位得A1（﹣2，4），作B關于x軸的對稱點B1，則有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，想辦法求出A1B1，直線A1B1的解析式即可解決問題．

（2）設M（m，），則N（m﹣，0），NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2，分MN＝EM，MN＝NE兩種情形，分別構建方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵A（3，4），

∴OA＝＝5，

∵OA＝OC＝OE，

∴OA＝OC＝OE＝5，

∴C（﹣5，0），E（5，0），

把A、C兩點坐標代入y＝ax+b得到，

解得，

∴直線的解析式為，

把A（3，4）代入y＝中，得到k＝12，

∴反比例函數的解析式為y＝，

把A向左平移5個單位得A1（﹣2，4），作B關于x軸的對稱點B1，

則有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，

∵直線AC：，

雙曲線：y＝

∴，

∴，

直線A1B1：，

令y＝0，可得，

∴O′（﹣，0）．

∴|BO′﹣AE′|的最大值為，此時點O′的坐標（﹣，0）．

（2）設M（m，），則N（m﹣，0），NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2

若MN＝ME，則有，（5﹣m）2+（）2＝（）2+（）2，解得m＝或（舍棄），

∴M（，），

若MN＝NE，則有（5﹣m+）2＝（）2+（）2，解得m＝8或3（舍棄），

∴M（8，），

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（，）或（8，）．