Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋2經過點A(－1，0)和點B(4，0)，且與y軸交于點C，點D的坐標為(2，0)，點P(m，n)是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標；

⑶當m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣0．5x2+1．5x+2；（2）可得點P的坐標是（，3）或（，3）；（3）線段EG的最小值是．

【解析】

試題（1）已知拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0）和點B（4，0），用待定系數法，求出該拋物線的解析式即可．

（2）已知△PDB的面積等于△CAD的面積，根據已知條件求出△CAD的面積，即可求出△PDB的面積，然后根據點D、點B的坐標求出BD的長，即可求出△PDB邊BD上的高，也就是點P的縱坐標，分兩種情況，點P在x軸的上方，點P在x軸的下方，再把它分別代入拋物線的解析式，求出x的值，即可判斷出點P的坐標．

（3）已知點B、點C的坐標，用待定系數法，求出直線BC的解析式；然后根據點P的坐標是（m，n），PF∥x軸，且點F在直線BC上，求出點F的坐標，再由勾股定理得出EG2與n之間的二次函數關系，利用二次函數的性質求得EG2的最小值，即可得線段EG的最小值．

試題解析： 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）兩點的坐標代入y=ax2+bx+2中，可得

解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣0．5x2+1．5x+2．

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣0．5x2+1．5x+2，

∴點C的坐標是（0．2），

∵點A（﹣1，0）、點D（2，0），

∴AD=2﹣（﹣1）=3，

∴△CAD的面積=，

∴△PDB的面積=3，

∵點B（4，0）、點D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或﹣3，

①當n=3時，

0．5m2+1．5m+2=3，

解得m=或m=，

∴點P的坐標是（，3）或（，3）．

②當n=﹣3時，

0．5m2+1．5m+2=﹣3，

整理，可得

m2+3m+10=0，

∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，

∴方程無解．

綜上，可得點P的坐標是（，3）或（，3）．

（3）如圖1，，

設BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

∵點C的坐標是（0，2），點B的坐標是（4，0），

∴

解得

∴BC所在的直線的解析式是：y=﹣0．5x+2，

∵點P的坐標是（m，n），

∴點F的坐標是（4-2n，n），

∴EG2=（4-2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5+，

∵n＞0，

∴n=時，線段EG2的最小值是，

即線段EG的最小值是．