Question

【題目】點P（x1，y1）和點Q（x2，y2）是關于x的函數y＝mx2﹣（2m+1）x+m+1（m為實數）圖象上兩個不同的點．對于下列說法：①不論m為何實數，關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m+1＝0必有一個根為x＝1；②當m＝0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0成立；③當x1+x2＝0時，若y1+y2＝0，則m＝﹣1；④當m≠0時，拋物線頂點在直線y＝﹣x+1上．其中正確的是（　　）

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據方程解的定義對①進行判斷；先得到當m=0時，函數解析式為y=﹣x+1，則可計算出，于是可根據非負數的性質對②進行判斷；當m=﹣1時，解析式為﹣+，可計算出+=2≠0，于是可對③進行判斷；先計算出頂點坐標，然后根據一次函數圖象上點的坐標特征對④進行判斷．

當x=1時，y=mx2﹣(2m+1)x+m+1=m﹣2m﹣1+m+1=0，

則方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一個根為x=1，所以①正確；

當m=0時，y=﹣x+1，則y1=﹣x1+1，y2=﹣x2+1，

所以(x1﹣x2)(y1﹣y2)=(x1﹣x2)(﹣x1+x2)=﹣(x1﹣x2)2，

而點P(x1，y1)和點Q(x2，y2)是兩個不同的點，

所以x1x2，

則(x1﹣x2)(y1﹣y2)=﹣(x1﹣x2)2＜0，所以②正確；

當m=﹣1時，y=﹣x2+x，

則y1=﹣x12+x1，y2=﹣x22+x2，

所以y1+y2=﹣x12+x1﹣x22+x2=﹣(x1+x2)2+2x1x2+(x1+x2)，

當x1+x2=0時，

y1+y2=2x1x2≠0，所以③錯誤；

當m≠0時，頂點的橫坐標為，縱坐標為，

當x=時，，

所以拋物線的頂點不在直線上，所以④錯誤．

綜上：①②正確，

故選：A．