Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，＝，BE分別交AD、AC延長線于點F、G．

（1）過點A作直線MN，使得MN∥BG，判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說理．

（2）若AC＝3，AB＝4，求BG的長．

（3）連接CE，探索線段BD、CD與CE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線MN與⊙O相切，理由見解析；（2）BG＝；（3）BD＝CE+CD，理由見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠NAG＝∠G，根據圓周角定理得出∠ABG=∠AEB，再由∠ABC+∠EBC=∠G+∠EAG得出∠ABC=∠G，進而得到∠NAG＝∠ABC，由AB是直徑得出∠BAC=90°，等量代換∠OAN=90°,求得OA⊥MN，即可得到結論；

（2）連接AE，根據圓周角定理得到∠AEB＝∠ACB，根據等腰三角形的性質得到∠ABE＝∠AEB，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（3）連接CE，在BC上截取BH＝CE，連接AH，根據全等三角形的判定方法得出△ABH≌△AEC（SAS），再根據全等三角形的性質即可得到結論．

解：（1）直線MN與⊙O相切，

理由：連接OA、AE

∵MN∥BG，

∴∠NAG＝∠G，

∵＝，

∴AB=AE，∠ABG=∠AEB

∵∠EBC=∠EAC

∴∠ABC+∠EBC=∠G+∠EAG

∴∠ABC=∠G

∴∠NAG =∠ABC，

∵OA=OB

∴∠ABC=∠BAO=∠NAG

∵AB是直徑

∴∠BAC=90°即∠BAO+∠OAC=90°

∴∠NAG+∠OAC=90°

即∠NAO=90°

∴OA⊥MN，

∴直線MN與⊙O相切；

（2）解：連接AE，

由（1）可知：∠ABC=∠G

∵∠BAC＝∠GAB，

∴△ABC∽△AGB，

∴，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵AC＝3，AB＝4，

∴BC＝5，

∴，

∴BG＝；

（3）解：BD＝CE+CD，

理由：連接CE，

在BC上截取BH＝CE，連接AH，

∵AB＝AE，

又∵∠ABC＝∠AEC，

∴△ABH≌△AEC（SAS），

∴AH＝AC，

又∵AD⊥BC，

∴HD＝CD，

∴BD＝BH+HD＝CE+CD．